Ulrike Schuldenzucker

Abteilung Theoretische Biologie

Universität Bonn

Kirschallee 1

53115 Bonn

e-mail: schuldenzucker@uni-bonn.de

Tel.: 0228 / 73 20 84

Arbeitsgebiet: Mathematische Biologie, insbes. Populationsdynamik, Musterentstehung und Schwarmbewegung

Kurzdarstellung der Interessen:

- Beute-Räuber-Interaktion zwischen benachbarten Populationen, beschrieben durch parabolische PDE-Systeme 2. Ordnung mit no flux-Randbedingung:

- Zwei Spezies:

Einfluss von Kreuzdiffusions- und Advektionstermen auf den Turing-Mechanismus.

Ergebnis:

Kreuzdiffusionsterme stabilisieren das System, Advektionsbeiträge, die auf die Spezies unterschiedlich wirken, fördern Musterentstehung.

- Beute-Räuber-Kettensysteme:

Reaktions-Diffusions-Modelle, in denen jede (außer der höchsten) Population Beute der folgenden ist.

Ergebnis:

Hinreichend für lineare Instabilität ist die Instabilität des niedrigsten 2x2-Teilsystems.

Für diagonaldominierte Diffusions- und Reaktionsmatrizen ist das Ensetzen von Musterbildung verbunden mit der Dichte-Abhängigkeit der Reproduktion der niedrigsten Beute-Spezies und ihrer Eigenbeweglichkeit.

- Musterentstehung in parabolischen Systemen höherer Ordnung:

Interaktion zweier Spezies aufgrund kurz- und langreichweitiger Orientierung an eigenen und fremden Dichteunterschieden für einen Zeitraum der Massenerhaltung.

Das Mathematische Modell ist ein parabolisches PDE-System 4. Ordnung.

Ein System mit etwas einfacher strukturiertem Fluss kann als lokalisierter Grenzfall eines Integralkern-Modells betrachtet werden.

Ergebnis:

Instabilität ist durch das Zusammenwirken der Interaktionen möglich, auch wenn das System mit ausschließlich kurzreichweitiger oder langreichweitiger Wechselwirkung stabil wäre.

Im Fall von Selbstiffusion jeder Spezies ist Instabilität etwa möglich, wenn eine Spezies kurzreichweitig ihre Beweglichkeit in Richtung steigender Dichte der zweiten einsetzt, während diese zweite sich langreichweitig in Richtung fallender Dichte der ersten orientiert.

Anders als beim Turing-Mechanismus ist im Fall von Selbstaggregation einer Spezies auch oszillierende Instabilität möglich.

- Schwarmbewegung bei nichtlokaler Interaktion:

Übergang von einem eindimensionalen viskoelastischen Vielteilchenmodell zu einem PDIE-System.

Das Vielteilchenmodell beschreibt für jedes Individuum die Positionsänderung und die auf das Individuum in einem Zeitschritt ausgeübte Beschleunugung.

Diese Beschleunigung besteht aus einem Anteil der Orientierung an einer Wunsch-Geschwindigkeit (bzw. einem Reibungsterm) und der Summe der Beschleunigungen durch die Anwesenheit der anderen Teilchen. Hierbei wirkt ein anderes Individuum einerseits aufgrund von elastischer Attraktion oder Repulsion, andererseits aufgrund eines Mitnahmephänomens in Form einer viskösen Interaktion. Jeder Wechselwirkungsterm wird zusätzlich gewichtet durch die Sichtweite des Individuums und die Transparenz von Teilchemasse.

Die Einführung lokaler Dichten auf den Teilintervallen und eine geschickte Darstellung der Kräftesumme führen im Grenzübergang von großen Teilchenzahlen auf ein kontinuierliches System, bestehend aus einer Transportgleichung für die Teilchendichte und einer PDI-Gleichung für die Geschwindigkeit. Der Integralkern spiegelt die gewichteten viskoelastischen Wechselwirkungen wider. Das Schwarmintervall ist gegeben durch Randcharakteristiken.